Fonction logarithmique à paramètre

$\begin{flushright} \textit{Afin de rehausser leurs attentes finales,\\ Donnons du HEC aux jeunes Terminale\\} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 1 heure)\hfill \textit{D'après HEC 2001 (option économique)}\\ On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\displaystyle% \ln \left( \frac{e^{x}+1}{2}\right) $. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item {\'{E}tudier les variations de $f$. } \item Calculer $\underset{x\rightarrow -\infty}{\lim}~f(x)$ \item Montrer $\underset{x\rightarrow +\infty}{\lim}~f(x)- x + \text{ln}(2)=0$ Donner une interprétation graphique de ce résultat.\\ \end{enumerate} \item {Soit $a$ un réel vérifiant $0<a<1$ et soit $\varphi _{a}$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :~$ \forall x\in \mathbb{R},\ \varphi _{a}(x)=f(x)-ax$ \begin{enumerate} \item {\'{E}tudier les variations de la fonction $\varphi _{a}$. Montrer que la fonction $\varphi _{a}$ atteint un minimum en un unique point $x_{a}$ de $\mathbb{R}$ dont on donnera l'expression en fonction de $a$. Préciser les valeurs de $\varphi _{a}(0)$ et de $\varphi _{a}^{\prime }(0)$.} \item {\'{E}tudier le signe de $x_{a}$ suivant les valeurs de $a$.} \item {Montrer que, pour tout réel $a \ne \dfrac{1}{2}$, on a: $ e^{\varphi _{a}(x_{a})}<1$} \end{enumerate} }\end{enumerate} \textbf{Correction:}\\$