Suite arithmético-géométrique complexe

$\textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 20 min)\\ On considère la suite $(z_n)$ de nombres complexes définie comme suit :\\ \begin{center} $\left \{ \begin{array}{c @{=} c} z_0 & 1 \\ \text{Pour tout entier naturel}~n,~z_{n+1}~~~&~~~iz_n + i \\ \end{array} \right.$ \end{center} 1) Calculer $z_1$, $z_2$ et $z_3$. 2) On pose $Z = -\dfrac{1}{2}+\dfrac{i}{2}$. Soit $(w_n)$ la suite complexe définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n = z_n - Z$.\\ a) Exprimer $w_{n+1}$ en fonction de $w_n$.\\ b) En déduire l'expression du terme général $w_n$.\\ c) En déduire l'expression du terme général $z_n$.\\ d) Combien suffit-il de positions sur le plan pour placer tous les points $M_n$ d'affixes les termes de la suite $(z_n)$ ?\\ \textbf{Correction:}\\$