Une limite pas intuitive

\begin{flushright} \textit{Ca ne tend pas vers 1, malgré nos préjugés,\\ Car l'exposant malin en changeant veut piéger.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 30 min)\\ On cherche à déterminer $\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}~(1+\dfrac{1}{n})^n$ 1) Donner une conjecture quant au résultat. 2) Démontrer que pour tout entier naturel $n > 0$, on a : $(1+\dfrac{1}{n})^n = \text{exp}\big(n~\text{ln}(1+\dfrac{1}{n})\big)$,~~où exp est la fonction exponentielle. 3) Démontrer : $\underset{x\rightarrow 0}{\lim}~\dfrac{\text{ln}(1+x)}{x} = 1$ 4) En déduire $\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}~n~\text{ln}(1+\dfrac{1}{n})$ 5) Conclure. Discuter la différence entre la conjecture formulée en 1) et le résultat obtenu.\\ \textbf{Correction:}