Deux suites définies par récurrence croisée

$\begin{flushright} \textit{" Croiser les récurrences ? Quelle est cette folie ? " \\ Dirait en l'occurrence un cerveau ramolli.} \end{flushright} \textbf{\'Enonc\'e:}\\ On consid\`ere les deux suites $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d\'efinies par: $a_0=1,~b_0=2~~\text{et}~~\forall n \in \mathbb{N}, a_{n+1}=\sqrt{a_n b_n}~\text{et}~b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}$ 1) D\'emontrer que pour tout $n \in \mathbb{N},~ 1\leq a_n \leq b_n \leq 2$ 2) D\'emontrer que la suite $(a_n)$ est croissante. 3) D\'emontrer que la suite $(b_n)$ est d\'ecroissante. 4) En d\'eduire que $(a_n)$ et $(b_n)$ sont convergentes. 5) Montrer qu'elles convergent vers une m\^eme limite $l$.\\ \textbf{Consid\'erations tactiques:}\\ \textit{Cet exercice est relativement difficile, mais sa difficult\'e n'est pas uniform\'ement r\'epartie. La question 1 peut s'av\'erer bloquante, mais il faut se rendre compte que toutes les autres questions peuvent \^etre faites m\^eme si on n'a pas trait\'e la 1.}\\ \textit{De m\^eme, \`a supposer qu'en catastrophe, on ne trouve pas le temps de traiter les 2 et 3, on peut toujours faire les 4 et 5 (en supposant admis les r\'esultats des questions pr\'ec\'edentes).}\\ \textit{Il y a toujours des points donn\'es \`a prendre, \`a moins de ne pas savoir accepter les cadeaux.}\\ \textbf{Corrig\'e:}\\$