Pompe à vélo

\begin{flushright} \textit{Attendez juste un coup que ma roue soit replète,\\ Et je ferai le tour du monde en bicyclette.} \end{flushright} \textbf{Enoncé:}\\ On gonfle un pneu de bicyclette de volume $V$, initialement à plat, avec une pompe de volume de compression $v$ et de volume de raccord $r$. Au départ, la pression dans le pneu, la pompe et le raccord, est égale à la pression extérieure $p_0$. Après $n$ coups de pompe, la pression dans le pneu est $p_n$. Lorsqu'on donne un $(n+1)$-ème coup de pompe, il se produit le phénomène physique suivant :\\ - L'air se comprime dans la pompe jusqu'à obtenir un volume $w_n$ ($w_n < w$), volume atteint au moment où la pression dans la pompe atteint $p_n$. Les équations physiques donnent $p_0(v+r) =p_n(w_n+r)$\\ - A ce moment, la valve s'ouvre, et l'on poursuit jusqu'à passer dans la pompe du volume $w_n$ à $0$. On a alors $p_n(w_n + r + V) = p_{n+1}(r+V)$ Quelle est la pression limite obtenue dans le pneu ? Indication : On pourra démontrer que la suite $(p_n)$ est une suite arithmético-géométrique et étudier sa convergence.\\ \textbf{Considérations tactiques:}\\ \textit{Ceci est un exercice de mathématiques. Je le rappelle pour dissiper les inquiétudes de ceux qui n'auraient pas compris des aspects techniques exposés dans l'énoncé. Soyons bien clairs : la compréhension parfaite desdits aspects n'est pas une condition nécessaire pour résoudre l'exercice avec brio. Vous ne connaissez pas parfaitement le fonctionnement d'une pompe ? Vous ne savez pas ce qu'est un raccord ? Pas grave (ici, en tous cas).} \textit{Bien sûr, il est plus " joli " de comprendre le phénomène physique et ensuite résoudre le problème mathématique qui en découle. Mais comprenez que les tâches sont divisées : ici, c'est un problème mathématique. Le physicien a travaillé avant nous, pour nous donner les équations mathématiques qui nous serviront. C'est souvent le cas dans le domaine des mathématiques appliquées : d'autres scientifiques (biologistes, chimistes, physiciens...) donnent au mathématicien les équations régissant le phénomène à étudier, avec lesquelles ce dernier se débrouille.} \textit{Une fois qu'on aura démontré que $(p_n)$ est arithmético-gémométrique, c'est-à-dire qu'elle vérifie une relation de la forme $p_{n+1} = ap_n + b$, on sera ramenés à l'exercice bateau de suites en Terminale (introduire une suite auxiliaire qu'on prouve géométrique, dont on aura plus facilement le terme général, pour ensuite trouver celui de $(p_n)$). Sauf que cette fois-ci, il faudra trouver nous-mêmes une suite auxiliaire intelligente à introduire...}\\ \textbf{Corrigé:}\