Une suite au commissariat – Ayoub et les maths

$\begin{flushright} \textit{L'histoire a peu de charme. En voici l'abrégé :\\ Coincé par les gendarmes, le voleur est piégé.\\} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 20 min)\\ Soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}^*}$ la suite définie par $u_n=\mathlarger\sum_{k=1}^n~\dfrac{n}{n^2+k}=\dfrac{n}{n^2+1}+\dfrac{n}{n^2+2}+...\dfrac{n}{n^2+n}$ 1) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^* : \dfrac{n^2}{n^2+n} \leq u_n \leq \dfrac{n^2}{n^2+1}$ 2) En déduire que $(u_n)$ converge vers une limite que l'on précisera.\\ \textbf{Correction:}\\$