Etude d’une fonction trigonométrique

$\begin{flushright} \textit{Piégée entre deux droites, à identique pente,\\ Dans cette route étroite, une courbe serpente.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}\\ Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x + \cos^2(x)$ et $C$ sa courbe représentative. 1) a) Démontrer que pour tout réel $x,~x \leq f(x) \leq x + 1$.\\ b) En déduire les limites de f en $+\infty$ et en $-\infty$.\\ c) Interpréter graphiquement l'encadrement précédent. 2) On note $(d_1)$ et $(d_2)$ les droites d'équation $y = x$ et $y = x + 1$. Déterminer les points d'intersection de $C$ avec $(d_1)$, puis avec $(d_2)$ . 3) a) Soit $f'$ la dérivée de $f$. Montrer que pour tout réel $x, f'(x) = 1 - \sin(2x)$.\\ b) En déduire le sens de variation de la fonction $f$.\\ c) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f'(x) = 0$. 4) a) Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0;\pi]$.\\ b) Tracer $(d_1)$, $(d_2)$ et la représentation graphique de $f$ sur $[0;\pi]$. 5) a) Démontrer que pour tout réel $x$, $f(x + \pi) = f(x) + \pi$ .\\ b) Comment déduire la courbe $C$ de la représentation graphique de $f$ sur $[0;\pi]$ ?\\ \textbf{Correction:}\\$