Dérivées des fonctions sinus et cosinus

$\Large \begin{flushright} \textit{Sur ces vagues d'humeur, tanguez petit navire !\\ Prenez, fourbe écumeur, la tangente à venir.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 35 min)\\ En rouge, on a tracé la courbe $\mathcal{C}$ de la fonction cosinus. La droite $(\Delta)$, tangente de la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$, a pour équation $y = 1$. \begin{center} \begin{pspicture}(-5,-1.5)(5,1.5) \psset{xunit=1 cm, algebraic=true} \psaxes{->}(0,0)(-5,-1.5)(5,1.5) \psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-5}{5}{cos(x)} \psline[linecolor=blue](-5,1)(5,1) \uput[u](4,1.1){\color{blue}$(\Delta)$} \uput[u](3,-1.7){\color{red}$\mathcal{C}$} \end{pspicture} \end{center}~~\\ 1) Montrer : $\underset{h \rightarrow 0}{\lim}~~\dfrac{\cos(h) - 1}{h} = 0$ 2) On admet de plus la limite suivante* : $\underset{h \rightarrow 0}{\lim}~~\dfrac{\sin(h)}{h} = 1$\\ En déduire que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables en tout point $a \in \mathbb{R}$, et calculer leurs dérivées.$

Correction :*Pour une démonstration de ce résultat admis ici, voir l’exercice suivant :

Démonstration géométrique d’une limite trigonométrique