Relation d’ordre entre endomorphismes symétriques

Si la notion de relation d’ordre n’est pas à votre programme mais que vous avez vu les endomorphismes symétriques, cliquez ici.

$\textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 25 min)\hfill\textit{D'après Mines-Ponts PSI, 2012}\\ Soit un entier naturel $n \geq 2$. On note $S_n$ l'ensemble des endomorphismes symétriques de $\mathbb{R}^n$. On admet que $S_n$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E)$. Le produit scalaire euclidien de $\mathbb{R}^n$ est noté $(x,y)$. Pour tout $u \in S_n$, on dit que $u$ est positif, et on note $u \in S_n^+$, si : $\forall x \in \mathbb{R}^n,~(u(x)~,x) \geq 0$ On note donc $S_n^+$ l'ensemble des endomorphismes positifs de $S_n$. Enfin, pour tous $u, v \in S_n$, on note $u \geq v$ si et seulement si $u - v \in S_n^+$\\ 1) Démontrer que la relation $\geq$ est une relation d'ordre sur $S_n$. 2) Est-elle totale ?\\$

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