Une caractérisation de la bijectivité

\LARGE \begin{flushright} \textit{De leur amour naissant, voici la belle ébauche :\\ \og tu es, je le pressens, ma seule inverse à gauche. \fg} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 25 min)\\ Soient $E$ et $F$ deux ensembles tels que $E$ possède au moins deux éléments distincts. Soit $f : E \rightarrow F$ une application telle qu'il existe une unique application $g : F \rightarrow E$ vérifiant :\\ $\forall x \in E,~g\big(f(x)\big) = x$ On cherche à démontrer que $f$ est bijective.\\ Supposons qu'il existe $y_0 \in F$ tel que $f\big(g(y_0)\big) \neq y_0$. 1) Montrer que $y_0 \notin \text{Im} f$. 2) Déterminer une application $h : F \rightarrow E$, différente de $g$, vérifiant :\\ $\forall x \in E, h\big(f(x)\big) = x$ 3) Conclure.\\ \textbf{Correction:}\\