Volume d’un tétraèdre

    \begin{flushright} \textit{Aux tréfonds de l'espace, prenez de la hauteur,\\ Que vous soyez rapace ou graine d'aviateur.} \end{flushright} ~~\\ \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 55 min) \hfill Polynésie, juin 2014\\ Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points \[\text{A}(5~;~-5~;~2), \text{B} (-1~;~1~;~0), \text{C}(0~;~1~;~2)\quad \text{et D}(6~;~6~;~-1).\] \begin{enumerate} \item Déterminer la nature du triangle BCD et calculer son aire. \item \begin{enumerate}\index{vecteur normal} \item Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}- 2\\3\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (BCD). \item Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD).\index{equation de plan@équation de plan} \end{enumerate}\index{equation parametrique de droite@équation paramétrique de droite} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ orthogonale au plan (BCD) et passant par le point A. \item Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (BCD). \item Déterminer le volume du tétraèdre ABCD. \emph{On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\mathcal{B} \times h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ la hauteur correspondante.} \item On admet que AB = $\sqrt{76}$ et AC $= \sqrt{61}$. Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Correction:}