Continuité croissante et continuité décroissante

$\Huge \begin{flushright} \textit{Suite d'événements gagnant en certitude,\\ nous faisons de ton clan l'objet de notre étude.} \end{flushright}~~\\ \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 30 min)\\ Soit $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d'événements croissante au sens de l'inclusion, c'est-à-dire telle que :\\ $\forall~n \in \mathbb{N},~ A_n \subset A_{n+1}$.\\ On définit ainsi la suite d'événements $(B_n)_{n \in \mathbb{N}}$ : $B_0 = 0$ et $\forall~n \in \mathbb{N}^*,~B_n = A_n \backslash A_{n-1}$\\ 1) Montrer que $\displaystyle\bigcup_{n = 0}^{+\infty} B_n = \displaystyle\bigcup_{n =0}^{+\infty} A_n$ 2) En déduire que : $\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim}~P(A_n) = P\big(\displaystyle\bigcup_{n = 0}^{+\infty} A_n\big)$\\ 3) En considérant maintenant une suite $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d'événements décroissante au sens de l'inclusion, montrer que : $\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim}~P(A_n) = P\big(\displaystyle\bigcap_{n = 0}^{+\infty} A_n\big)$$
Le temps conseillé correspond à des élèves de filières pour lesquelles ce résultat n’est pas au programme. Pour d’autres qui voient explicitement le théorème de continuité croissante dans le cours, et pour qui un tel exercice est donc une démonstration de cours, ce temps conseillé pourra être raccourci.

Correction :

La correction des deux premières questions est aussi disponible en vidéo, à quelques variantes près en termes de méthode, sur ma chaîne youtube :